3 võimalust 3x3 maatriksi pöördväärtuse arvutamiseks

Sisukord:

3 võimalust 3x3 maatriksi pöördväärtuse arvutamiseks
3 võimalust 3x3 maatriksi pöördväärtuse arvutamiseks
Anonim

Algebras on tavaline, et asjade lihtsustamiseks kasutatakse tagurpidi. Väärtuse jagamiseks murruga on mugavam see väärtus korrutada selle murdosa pöördvõrdega: seda nimetatakse pöördteheks. Maatriksite osas ei ole jagamisel mingit tähendust: siis on vaja läbida pöördmaatriksi korrutamine, mis eeldab selle eelnevalt määramist. Käsitsi 3x3 maatriksi pöördväärtuse arvutamine on lihtne töö, kuid pisut tüütu, kuid see on maatriksite toimimise osas väga õpetlik toiming. Kui teete maatriksi arvutamist terve päeva, on parem teada, kuidas kasutada graafilist kalkulaatorit.

Sammud

Meetod 1 /3: ehitage pöördmaatriksi leidmiseks abimaatriks

Leidke 3x3 maatriksi vastupidine samm 1

Samm 1. Leidke maatriksi determinant

See on esimene asi, mida teha, sest kui determinant on null (= 0), ei pea te kaugemale minema, maatriksil ei ole pöördvõrdlust. Tavaliselt kutsume sinu) maatriksi A determinant.

  • 3x3 maatriksi puhul alustage alati selle määraja arvutamisest
  • Kui soovite rohkem teada saada või mälu värskendada, lugege seda artiklit.
Leidke 3x3 maatriksi vastupidine samm 2

Samm 2. Transponeerige lähtemaatriks

Ülevõtmine on operatsioon, mis koosneb sümmeetriast diagonaali suhtes, eesmärgiks on elemendi (i, j) ja elemendi (j, i) permuteerimine. Kui transposteerite maatriksi piki diagonaali (tavaliselt vasakult ülalt alla paremale), jäävad selle diagonaali elemendid muutumatuks.

Ülevõtmisel on veel üks mõtteviis, mille kohaselt esimesest reast saab esimene veerg, keskmisest reast saab keskmine veerg ja lõpuks kolmandast veerust kolmas veerg. Jälgige ülaltoodud pilti ja vaadake värvide abil, kuidas toimub koha muutus

Leidke 3x3 maatriksi vastupidine samm 3

Samm 3. Arvutage üheksa kõrvalmaatriksi determinantid

Iga ülekantud 3x3 maatriksi element on seotud väiksema maatriksiga. Viimase leidmiseks ja 3x3 maatriksis on neid üheksa, on mõttekas vaja kõrvaldada kõik terminid, mis on vaadeldava elemendi reas ja veerus, st viis terminit. Ülejäänud neli terminit moodustavad elemendiga seotud kõrvalmaatriksi.

  • Võtame taas oma näite ja otsige mõistega seotud kõrvalmaatriksit (a21) teise rea ja esimese veeru kohta. Ringutage selle rea ja veeru viis terminit, ülejäänud neli on seotud kõrvalmaatriksi omad.
  • Arvutage iga kõrvalmaatriksi determinant (mida nimetatakse ka „väiksemaks”), tehes saadused risti ja lahutades õiges suunas.
  • Maatriksiga, mille esimesel real on b ja teisel kohal c d, on determinant võrdne: ad - bc.
Leidke 3x3 maatriksi pöördvõimalus 4. samm

Samm 4. Koostage kofaktorimaatriks

Asetage kõik äsja arvutatud määrajad maatriksisse, mida me nimetame “kofaktorite maatriksiks”. Loomulikult paigutatakse määraja seotud termini kohale. Seega asendab elemendi (1, 1) kõrvalmaatriksi determinant elemendi (1, 1). Jääb vaid märke võimalik muuta. Kofaktor C.ij determinandist Mij määrab seos: Cij = ((-1)i + j) (M.ij).

  • Märkide määramisel säilitab esimese rea esimene element oma märgi, teine ​​võtab vastupidise märgi, kolmas oma märgi. Minge järgmisele reale, austades alati vaheldust. Joonis illustreerib väga hästi neid korrutusi, mida tuleb teha kofaktorite leidmiseks. "+" Ja "-" tuleks mõista kui "+1" ja "-1".
  • Internetist leiate palju saite, mis selgitavad seda kofaktori arvutust üksikasjalikult.
  • Äsja saadud maatriks on lähtemaatriksi abimaatriks. Seda nimetatakse ka “koatriksiks” või “transkonjugeeritud maatriksiks”. Kõige sagedamini märgitakse com (M) Kus M*.
Leidke 3x3 maatriksi vastupidine samm 5

Samm 5. Jagage iga termin külgnevas maatriksis determinandiga

Hankige M -i determinant, mis arvutati esimeses etapis. Iga tulemus sisestatakse kohad arvesse võttes uude maatriksisse. Nende arvutuste lõpus saate algmaatriksi pöördmaatriksi.

  • Kui võtate näite uuesti, olete leidnud determinandi, mis on võrdne 1. Seetõttu peate jagama iga elemendi com (M) selle väärtusega, mis jätab selle muutmata. See ei lähe alati nii kiiresti!
  • Mõnes töös eelistame korrutada com (M) determinandi pöördvõrdega. Tegelikult jagamine det (M) -ga võrdub korrutamisega 1 / det (M) -ga: see on täpselt sama asi.

Meetod 2/3: pöördmaatriksi leidmiseks kasutage lineaarset ridade vähendamist

Leidke 3x3 maatriksi vastupidine samm 6

Samm 1. Kleepige identiteedimaatriks oma maatriksile

Kirjutage oma lehele stardimaatriks M ilma õige klambrita, tõmmake sellest paremale vertikaalne joon, kirjutage identiteedimaatriks ja sulgege traks. Seejärel saate omamoodi maatriksi, millel on kolm rida ja kuus veergu (laiendatud maatriks).

Meenutagem siinkohal, et identiteedimaatriks on mõnevõrra spetsiifiline maatriks, milles diagonaal (mis algab vasakult ülaosast ja lõpeb all paremal) koosneb 1 -st, teised väärtused on 0. Paljud saidid pakuvad lehekülgi sellel maatriksil ja selle omadustel

Leidke 3x3 maatriksi vastupidine samm 7

Samm 2. Rakendage Gaussi-Jordaania algoritmi

See on lineaarne redutseerimismeetod. Teie eesmärk on saada identiteedimaatriks laiendatud maatriksi vasakule küljele. Kõik toimingud, mida teete vasakul, peate neid tegema paremal, see tähendab identiteedimaatriksis. Kuigi arvutused on lihtsad, on etappide määramine pisut keeruline.

See Gaussi-Jordaania algoritm põhineb reavahetustel, rea korrutamisel nullist erineva skalaariga ja ühe rea kordaja liitmisel teisele reale, positiivne või negatiivne. On palju saite, mis seda algoritmi üksikasjalikult kirjeldavad

Leidke 3x3 maatriksi vastupidine samm 8

Samm 3. Jätkake sel viisil, kuni saate identiteedimaatriksi

See algoritm põhineb järjestikustel iteratsioonidel, mille eesmärk on näha identiteedimaatriksit vasakul (1 s diagonaalselt ja 0 s mujal). Kui see on tehtud, on vertikaalsest joonest paremal olev maatriks soovitud pöördmaatriks.

Leidke 3x3 maatriksi vastupidine samm 9

Samm 4. Kopeerige pöördmaatriks

Koguge oma viimasel lehel see pöördmaatriks ja esitage see tavalise maatriksina koos kahe breketiga.

Meetod 3/3: kasutage pöördmaatriksi leidmiseks kalkulaatorit

Leidke 3x3 maatriksi vastupidine samm 10

Samm 1. Hankige maatriksi funktsionaalsusega kalkulaator

Piisab, kui öelda, et vajate mõnevõrra keerukat kalkulaatorit. Võtke üsna võimas, TI-83 või TI-86 (Texas Instruments), kuna pöördmaatriksi leidmiseks tuleb teha palju arvutusi.

Leidke 3x3 maatriksi vastupidine samm 11

Samm 2. Sisestage oma masin masinasse

Esimene samm on maatriksi funktsiooni aktiveerimine. Vaadake oma kalkulaatori juhiseid. Texas Instrumentsi kalkulaatorites peate vajutama 2 klahvinde, siis x-1.

Leidke 3x3 maatriksi vastupidine samm 12

Samm 3. Valige redigeerimise alammenüü

Ekraani ülaosas näete erinevaid menüüsid. Tehke Texas Instrumentsi kalkulaatoril menüü navigeerimisnuppude abil menüü Muuda esiletõstetud. See toiming varieerub sõltuvalt kalkulaatori tüübist. Probleemi korral lugege kalkulaatori juhiseid.

Leidke 3x3 maatriksi vastupidine samm 13

Samm 4. Andke oma maatriksile nimi

Enamik kalkulaatoreid soovitab valida maatriksi nimetamiseks tähe, sageli A -st J -ni. Kui teil on ainult üks, mida töödelda, valige [A]. Kui nimi on valitud, kinnitage see sisestusklahvi vajutades.

Leidke 3x3 maatriksi vastupidine samm 14

Samm 5. Sisestage maatriksi mõõtmed

Meie näite puhul võtame 3x3 maatriksi, teades, et kalkulaator on võimeline töötlema palju suuremaid maatrikseid. Sisestage ridade arv, kinnitage, sisestage veergude arv ja kinnitage teine ​​kord.

Leidke 3x3 maatriksi vastupidine samm 15

Samm 6. Sisestage maatriksi väärtused

Kui kõik läks hästi, on ekraanil tühi maatriks. Kui olete juba ühe või mitu muud maatriksit sisestanud, ilmuvad need ka ekraanile. Kursor tõstab esile maatriksi esimese elemendi. Sisestage lihtsalt soovitud väärtus ja seejärel kinnitage sisestusklahviga. Seejärel liigub kursor järgmisele elemendile. Kui väärtus on juba sisestatud, kirjutab sisestatud väärtus eelmise väärtuse üle.

  • Negatiivse väärtuse sisestamiseks peate kasutama negatiivset numbriklahvi, mitte tegevusmärki "-". Kui sisestate vale võtme, tagastab seade veateate.
  • Maatriksi elemente saate sisestada soovitud järjekorras navigeerimisnoolte abil.
Leidke 3x3 maatriksi pöördtegevus 16. samm

Samm 7. Välju maatriksfunktsioonist

Kui kõik maatriksi elemendid on kalkulaatorisse sisestatud, vajutage Texas Instrumentsi kalkulaatoris 2 klahvinde, seejärel väljuge. Seejärel väljute maatriksfunktsioonist ja leiate end kalkulaatori klassikaliselt ekraanilt.

Leidke 3x3 maatriksi vastupidine samm 17

Samm 8. Pöördmaatriksi saamiseks kasutage pöördklahvi

Kõigepealt naaske maatriksfunktsiooni juurde, viige kursor üksuse juurde Nimed ja valige kõnealune maatriks (ütleme maatriks A). Kui see on tehtud, vajutage tagurpidi x klahvi-1. Sõltuvalt kalkulaatorist peate võib -olla eelnevalt klahvi 2 vajutama või mitte.nde. Teie ekraanil kuvatakse nüüd sõnad A- 1 { displaystyle A ^ {- 1}}

. Appuyez sur la touche entrer et votre matrice inverse apparaitra à l'écran.

  • N'utilisez pas la touche ^ pour inscrire A−1{displaystyle A^{-1}}
  • sans quoi, votre calculatrice vous renverra une erreur.

  • Si après avoir appuyé sur la touche de l'inverse et si votre matrice a été correctement entrée, la calculatrice renvoie un message d'erreur, c'est que votre matrice n'a pas d'inverse. Vérifiez le déterminant.
Leidke 3x3 maatriksi vastupidine samm 18

Samm 9. Reguleerige pöördmaatriksi koefitsiente

Tõepoolest, näete neid kümnendkoha kujul, mis pole eriti õiglane. Täpsuse huvides tuleb koefitsiendid esitada murdosa kujul, seega mitte arvutada. Selleks kasutage juhiseid Frac. Kindlasti on see haruldane, kuid võib juhtuda, et teil on esimest korda ainult täisarvudest koosnev pöördmaatriks.

  • Kui teie kalkulaator saab maatriksitega hakkama, on sellel tingimata funktsioon, mis võimaldab teisendada kümnendkohad murdosadeks. Aktiveerige funktsioon TI-86 kalkulaatoril Matemaatika, siis vali Muu ja lõpuks Frac. Kinnitage sisestusklahviga: kümnendväärtused on asendatud murdudega.

Nõuanne

  • Siin paljastatud meetod töötab ka maatriksite puhul, mis sisaldavad tundmatuid või algebralisi avaldisi, põhimõte on sama.
  • Kirjutage kõik sammud üles, kuna 3x3 peaga tagurpidi pööramine on äärmiselt raske.
  • On arvutiprogramme, mis suudavad arvutada pöördmaatriksi, kuni kolmkümmend rida ja veergu.
  • Ükskõik, millise meetodi valite, kontrollige, kas tulemus on hea. Selleks korrutage M ja M-1. Teooria on järgmine: M x M-1 = M-1 x M = mina, mina olen identiteedimaatriks, see tähendab maatriks, milles diagonaal koosneb 1 -st, teised väärtused on 0. Kui see pole nii, siis sellepärast, et tegite mingil hetkel vea.

Populaarne teemade kaupa