Kuidas kaudselt tuletada: 7 sammu (piltidega)

Sisukord:

Kuidas kaudselt tuletada: 7 sammu (piltidega)
Kuidas kaudselt tuletada: 7 sammu (piltidega)
Anonim

Tuletisinstrumendi arvutamiseks võrrandiga, milles y on funktsioon x (liiki y = x2 -3x), on tuletamise põhireegleid lihtne rakendada (matemaatikud räägivad "selgest resolutsioonist"). Teisest küljest keerulisemate võrranditega, näiteks kahe tundmatuga ja veidralt organiseeritud, nagu x2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19, tuleb kasutada teistsugust lähenemist. Siin tuleb kasutusele tehnika, mida nimetatakse kaudseks eraldusvõimeks. Kui valdate selge lahendamise reegleid, saate hõlpsalt tuletada võrrandeid mitme tundmatuga. Me näeme seda kõike kohe!

Sammud

Meetod 1/2: tuletage kiiresti lihtsad võrrandid

Tehke kaudne eristamine 1. samm

Samm 1. Tavaliselt tuletage x -i sisaldavad terminid

Kui teil on vaja tuletada võrrand mitme tundmatuga, näiteks x2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19, võime mõelda, kust alustada. Õnneks on esimene samm kaudse lahenduse leidmiseks lihtne. Esiteks tuletage terminid, mis sisaldavad x -i ja konstandid, olenemata sellest, kus need võrrandis asuvad. Tuletage klassikalisel viisil, järgides selgesõnalise lahendamise reegleid. Ignoreeri praegu y-tingimusi.

  • Mõelge konkreetsele juhtumile, kus teil palutakse tuletada järgmine võrrand: x2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19. Pange tähele, et x -i sisaldab kaks terminit: x2 ja - 5 korda. Selle võrrandi saamiseks tuleb kõigepealt teha järgmist.
  • :: x2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19
  • :: (Võtke x astendaja "2"2 ja pange see koefitsiendiks, eemaldage x - 5x ja eemaldage 19, et panna 0)
  • :: 2x + a2 - 5 + 8a + 2xy2 = 0
Tehke kaudne eristamine 2. samm

Samm 2. Tuletage y -d sisaldavad terminid ja lisage igale sõnale ((dy / dx))

Nüüd tuletage y -terminid, nagu tegite varem x -terminite puhul. Kuid selles etapis on vaja igaühe juurde lisada “(dy / dx)” ja seda koefitsiendis. Nii et kui sa seal triivid2, saate 2y (dy / dx). Ignoreeri praegu mõisteid, mis sisaldavad nii x kui ka y.

  • Kui võtame oma näite, on meie võrrandiks saanud: 2x + y2 - 5 + 8a + 2xy2 = 0. Nüüd saame tuletada terminid y -s järgmiselt:
  • :: 2x + y2 - 5 + 8a + 2xy2 = 0
  • :: (Võtke astendaja "2" y -st2 ja pange see koefitsiendiks, eemaldage y 8 -st, seejärel asetage igaühe kõrvale “dy / dx”).
  • :: 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy2= 0
Tehke kaudne diferentseerimine 3. samm

Samm 3. Kasutage Leibnizi (või toote) reeglit või jagatisreeglit terminite jaoks, mis sisaldavad korraga x ja y

Selliste terminite tuletamine ei ole alati lihtne, kui te ei tea väga hästi, kuidas kasutada kahte tuletusreeglit - toodet ja jagatist. Kui terminid x ja y on tootesuhtes, kasutage toote reeglit (mis ütleb, et: (f × g) '= f' × g + g × f '), saab x -i terminist f ja y -st, g. Teisest küljest, kui x -i ja y -i terminid on jagatises, kasutage jagatise tuletamise reeglit (mis ütleb, et: (f / g) '= (g × f' - g '× f) / g2), muutub lugeja termin f ja nimetajaks g.

  • Meie näites 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy2 = 0, meil on ainult üks termin, mis sisaldab samal ajal x ja y - 2xy2. Kuna x ja y korrutatakse üksteisega, peame tootereeglit eristama järgmiselt:
  • :: 2xy2 = (2x) (a2) - siis määrake f = 2x ja g = y2 järgmise koostisega: (f × g) '= f' × g + g × f '
  • :: (f × g) '= (2x)' × (y2) + (2x) × (y2)'
  • :: (f × g) '= (2) × (y2) + (2x) × (2y (dy / dx))
  • :: (f × g) '= 2a2 + 4xy (dy / dx)
  • Integreerige see tulemus uuesti algsesse võrrandisse, mis annab järgmise: 2x + 2 aastat (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2 a2 + 4xy (dy / dx) = 0
Tehke kaudne diferentseerimine 4. samm

Samm 4. Eraldage (dy / dx)

See on peaaegu valmis! Peate vaid leidma (dy / dx). See võib tunduda keeruline, kuid see pole nii - pidage meeles, et saate tegurit (dy / dx). Seega a (dy / dx) + b (dy / dx) = (a + b) (dy / dx) ja seda tänu korrutamise jaotavale omadusele. Selle faktooringu eesmärk on lõppkokkuvõttes isoleerida (dy / dx) - paned teise liikme sisse kõik muud terminid, mida ei ole faktoriseeritud, siis jagad need nende väärtuste summaga, mis on vasakul (dy / dx).

  • Meie näites võiksime lihtsustada 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y2 + 4xy (dy / dx) = 0 järgmiselt:
  • :: 2x + 2a (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y2 + 4xy (dy / dx) = 0
  • :: (2a + 8 + 4xy) (dy / dx) + 2x - 5 + 2y2 = 0
  • :: (2y + 8 + 4xy) (dy / dx) = -2y2 - 2x + 5
  • :: (dy / dx) = (-2y2 - 2x + 5) / (2a + 8 + 4xy)
  • :: (dy / dx) = (-2y2 - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)

Meetod 2/2: triivimine keerukamaid tehnikaid kasutades

Tehke kaudne eristamine 5. samm

Samm 1. Et leida (dy / dx), on vaja teha numbriline kaart punkti koordinaatidega (x, y)

Hästi tehtud ! Olete lihtsalt võrrandi kaudselt edukalt tuletanud - see pole algajale tingimata lihtne, me anname teile selle! Seega, kõvera kalle (dy / dx) leidmiseks sirge punktist (x, y) piisab, kui asendada x ja y (asuvad tähisest "=" paremal) nende vastavate väärtustega Ja arvutuste tegemiseks ((dy / dx).

  • Oletame, et teil palutakse arvutada sirge (mille võrrand on eelnevalt uuritud) kalle koordinaatide punktis (3, - 4). Selleks asendame x 3 -ga ja y 4 -ga, seejärel teeme järgmised arvutused:
  • :: (dy / dx) = (-2y2 - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)
  • :: (dy / dx) = (-2 (-4)2 - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)
  • :: (dy / dx) = (-2 (16)- 6 + 5) / (2 (2 (3) (- 4)))
  • :: (dy / dx) = (-32)-6 + 5) / (2 (2 (-12)))
  • :: (dy / dx) = (-33) / (2 (2 (-12)))
  • :: (dy / dx) = (-33) / (- 48) = 3/48 = 0, 6875
Tehke kaudne diferentseerimine 6. samm

Samm 2. Kasutage ahelreeglit liitfunktsioonide jaoks

Ahela tuletamise reegel on väga kasulik paljude diferentsiaalarvutuse probleemide korral (sealhulgas kaudse lahendamise korral). Ahela tuletamise reegel ütleb, et: perekonna liitfunktsiooni F (x) korral (f o g) (x), tuletis on f '(g (x)) g' (x). Nagu näeme, on tänu sellele reeglile võimalik tuletada kaudselt funktsiooni iga "element", seejärel lõpus tervikuga liituda.

  • Oletame, et peate tuletama funktsiooni järgmise osa: sin (3x2 + x). Tegelikult peate kaudselt eristama võrrandifunktsiooni sin (3x2 + x) + y3 = 0. Kui määrame patu (3x2 + x) = "f (x)" ja 3x2 + x = "g (x)", saame siis eristada järgmiselt:
  • :: f '(g (x)) g' (x)
  • :: (patt (3x2 + x)) '× (3x2 + x) '
  • :: cos (3x2 + x) × (6x + 1)
  • :: (6x + 1) cos (3x2 + x)
Tehke kaudne diferentseerimine 7. samm

Samm 3. Võrrandite puhul, mis sisaldavad kolme tundmatut, x, y ja z, leidke (dz / dx) ja (dz / dy)

Kuigi see on haruldane, peate diferentsiaalarvutuses tuletama kaudselt võrrandid, mis sisaldavad rohkem kui kahte tundmatut. Iga uue tundmatu puhul peate leidma x suhtes täiendava tuletise. Seega, kui peate tegelema võrrandiga x, y ja z, peate leidma (dz / dy) ja (dz / dx). Seega peame võrrandit eristama kaks korda - esimest korda sisestame x -i korral (dz / dx) iga kord, kui eristame z -d sisaldavat terminit, ja teist korda y -ga sisestame (dz / dy) alati, kui tuletame termini, mis sisaldab z. Pärast seda peate vaid arvutama (dz / dx) ja (dz / dy).

  • Oletame, et peate tuletama järgmise funktsiooni: x3z2 - 5x5z = x2 + y3.
  • Esiteks tuletage terminid x -st, pidades meeles sisestada (dz / dx). Samuti ärge unustage vajadusel toote reeglit rakendada!
  • :: x3z2 - 5x5z = x2 + y3
  • :: 3x2z2 + 2x3z (dz / dx) - 5 aastat5z - 5x5(dz / dx) = 2x
  • :: 3x2z2 + (2x3z - 5x5) (dz / dx) - 5 aastat5z = 2x
  • :: (2x3z - 5x5) (dz / dx) = 2x - 3x2z2 + 5a5z
  • :: (dz / dx) = (2x - 3x2z2 + 5a5z) / (2x3z - 5x5)
  • Nüüd tehke sama (dz / dy)
  • :: x3z2 - 5x5z = x2 + y3
  • :: 2x3z (dz / dy) - 25x4z - 5x5(dz / dy) = 3a2
  • :: (2x3z - 5x5) (dz / dy) = 3a2 + 25xy4z
  • :: (dz / dy) = (3a2 + 25xy4z) / (2x3z - 5x5)

Populaarne teemade kaupa